Способы определения площадей

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

УДК 528.46

Е.Н. КУПРЕЕВА, А.А. МОРОЗОВА

Омский государственный аграрный университет имени П.А. Столыпина, Омск

ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ ЗЕМЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ

При проведении землеустроительных и кадастровых работ, включающих количественный и качественный учет земель, необходимо выполнять определение площадей земельных участков. Основой для принятия решений по использованию земельно-имущественного комплекса является геодезическая информация о местоположении объектов недвижимости, их площадях и точности их определения. В зависимости от значимости участков и массивов, их размеров, конфигурации и вытянутости, наличия планового материала, применяют следующие способы определения площадей участков: аналитический, механический, графический. В качестве исследования использован план земельного участка в масштабе 1 : 2000, образованный при проведении кадастровых работ. Поставлена цель — исследовать точность измерения площади земельного участка тремя различными способами. Сделаны выводы: наиболее точно площадь участка можно определить путем измерений необходимых геометрических элементов на местности с применением формул или по координатам поворотных точек участка аналитическим способом с точностью 1 : 1000, но это требует материальных затрат на выполнение полевых работ и вычислений. Точность расчета площади зависит от погрешностей, связанных с измерением координат поворотных точек границы участка, которые определены инструкцией по межеванию для различных категорий земель. Установлено, что на землях, имеющих меньшую ценность, ошибка определения площади возрастает, так как погрешность положения межевых знаков увеличивается. Можно также определить площадь земельных участков путем измерений на картографической основе графическим или механическим способом, однако точность снижается, она составляет 1 : 100 для графического и 1 : 500 для механического способов. При определении площади механическим способом обработан ряд из 60 измерений, полученные статистические ряды исследованы на подчинение закону нормального распределения с использованием критерия Пирсона, гипотеза не противоречит опытным данным. Рассчитана средняя квадратиче-ская ошибка одного обвода площади электронным планиметром PLANIX 7 — 0,16 % от общей площади (при заявленной точности прибора 0,2 %).

Ключевые слова: измерение, площадь участка, точность определения, средняя квадратическая ошибка, математическое ожидание, исследование точности, закон нормального распределения, критерий Пирсона.

Введение

В соответствии с законом о Государственном кадастре недвижимости осуществляют кадастровый учет недвижимого имущества (объектов кадастра, объектов недвижимости) . Для этого необходимо владеть геодезической информацией о местоположении объектов недвижимости, их площадях . Применяются различные способы определения площадей земельных участков. При межевании земельных участков, как правило, используется аналитический способ . Межевание земель представляет собой комплекс работ по установлению, восстановлению и закреплению на местности

© Купреева Е.Н., Морозова А.А., 2018

границ земельного участка, определению его местоположения и площади . Определение границ землепользования является основной и главной задачей инвентаризации земельных участков, поэтому проведению работ, связанных с определением, восстановлением и выносом границ земельных участков, уделяется повышенное внимание. Необходимо учитывать, что точность определения площади земельного участка непосредственным образом влияет на размер выплат в виде земельного налога государству либо арендодателю в виде арендной платы, то есть имеет экономическое значение. В геодезии существует три способа определения площади замкнутой фигуры: аналитический, графический и механический. Применяют способы в зависимости от необходимой точности определения, технических средств и формы площади .

Объекты и методы исследования

Аналитический способ определения площади

При аналитическом методе площади определяются по результатам полевых геодезических измерений (углов и расстояний) или по их функциям — координатам. Для вычисления площади земельных участков применяются известные тригонометрические формулы для различных геометрических фигур: треугольника, четырехугольника, трапеции. Для вывода формулы вычисления площади треугольника по измеренным сторонам участка и углу между ними (рис. 1) используют формулу:

2РД = аЬ Б1П 0.

(1)

Для вывода формулы вычисления площади участка, имеющего форму трапеции, по измеренным сторонам трапеции и углам при основании (рис. 2), используется формула

2Р = ■

Ь2 — а2

Щ 01 + СШ02

(2)

Рис. 1. Схема для вычисления площади участка треугольной формы

Рис. 2. Схема к определению площади трапеции

Для вычисления площади земельного участка четырехугольной формы по значениям четырех измеренных сторон и двух противолежащих углов (рис. 3), применяют формулу (3). В этом случае четырехугольник рассматривают, как два треугольника. Площадь вычисляется с использованием выражения

2Р = б1П 0 + Б1П 0 .

Площадь земельного участка четырехугольной формы можно вычислить по значениям трех смежных сторон и двух смежных углов при них по формуле

2P = SS2 sin р + S2S3 sin р + sin(р + Д-180°) ^

Пятиугольник (рис. 4) можно представить как совокупность двух геометрических фигур — треугольника и четырехугольника — с тремя смежными измеренными сторонами и смежными углами между ними. Тогда площадь пятиугольника можно вычислить с использованием формулы

2P = S2S3 sin р + ЗД sin р + ЗД sin Р + ЗД sin Р+Д-180°. (5)

Шестиугольник (рис. 5) можно представить как совокупность двух геометрических фигур — четырехугольников — с тремя смежными измеренными сторонами и смежными углами между ними. Тогда площадь шестиугольника можно вычислить с использованием формулы

2P = S3S4 sin р4 + S4S5 sin р5 + S3S5 sin(P4 + Р5 -180°) + + SS sin р + S& sin P + S6S2 sin(P + р -180°).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(6)

Рис. 3. Схема к определению площади четырехугольника по значениям трех смежных сторон и двух смежных углов при них

Рис. 4. Схема к определению площади пятиугольника

Рис. 5. Схема к определению площади шестиугольника

В общем случае для земельного участка в виде любого и-угольника можно рассчитать площадь, если известны его координаты, по формуле

2P = £ (y +1 — y, -1); 2P = ^ У, (- 2 — y, +1) .

(7)

(8)

Часто вычисления по координатам проводят с применением программного комплекса MS Excel. При определении площади этим способом на точность влияют только погрешности измерений на местности .

Механический способ определения площади

В основе механического способа лежит обвод контура планиметром. Точность определения характеризуется погрешностью величиной 1 : 500 от измеряемой площади. Планиметром называется механический прибор, позволяющий путем обвода фигуры любой формы получить ее площадь. Различают механические и электронные (цифровые) планиметры. В настоящее время используют в основном электронные — например, PLANIX 7 (рис. 6).

Цифровой планиметр PLANIX 7 состоит из следующих элементов: полярного рычага, трассера, панели с функциональными клавишами и цифрового дисплея. PLANIX 7

относится к планиметрам роликового типа. Это означает, что лазер использует ролики, которые позволяют значительно увеличить величину горизонтального перемещения по поверхности. С помощью удобной цифровой функциональной клавиатуры можно вводить масштаб, в котором осуществляется вычисление площади рисунка, чертежа, схемы или плана. Планиметр вычисляет площади в квадратных сантиметрах или в квадратных дюймах. Точность измерения стандартна для планиметров такого типа и составляет 0,2 % отклонения в каждую из сторон. Максимальный диапазон измерений — 30 х 30 сантиметров .

Вычисление площади графическим способом

Графический способ применяется при решении задач предварительного проектирования, а также как исключение на землях невысокой кадастровой ценности. Графический способ заключается в том, что участки на плане разбивают на простейшие геометрические фигуры (треугольники, квадраты, реже прямоугольники и трапеции). В каждой фигуре графически измеряются соответствующие элементы, по которым вычисляют площадь геометрической фигуры. Сумма площадей фигур составляет площадь участка. Чем больше углов поворота имеет граница, тем менее эффективен этот способ. Можно также измерить значения координат поворотных точек границы земельного участка графическим способом с помощью измерителя и масштабной линейки и в дальнейшем вычислить площадь по координатам. Существуют различные по эффективности и по точности способы разбивки участка на геометрические фигуры. Наиболее эффективным и точным является деление участка на треугольники, близкие к равносторонним, либо треугольники, размер высоты которых близок к размеру его основания. Для контроля площадь каждой фигуры определяется дважды — по разным значениям основания и высоты (а и h). Допустимое расхождение между значениями площадей из двух вариантов может быть вычислено по формуле профессора А.В. Маслова:

M — (9)

АР = 0,04

где М — знаменатель масштаба.

Экспериментальная часть

Исследование точности определения площадей

Точность вычисления площади аналитическим способом можно определить, воспользовавшись теорией ошибок измерений. Алгоритм действий следующий:

1) прологарифмировать выражение (формулу вычисления площади);

2) продифференцировать по всем независимым переменным;

3) заменить дифференциалы квадратами средних квадратических погрешностей.

Если использовать формулу 2P = ah для вычисления площади земельного участка треугольной формы, в соответствии с прописанным алгоритмом действий можно получить выражение относительной ошибки площади:

ф2 _ m )2+ф2, (1о)

m mhms

если относительные ошибки линейных измерений принять равными (— = — = — ),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

a h S

то значение относительной ошибки вычисления площади земельного участка можно получить по формуле

miL=. (ii)

Следует, что точность определения площади земельного участка в 1,5 раза меньше, чем точность измерения линий. Если применить алгоритм действий для прямоугольника, близкого к квадрату, то относительная погрешность определения площади

» mP mS

участка равна относительной погрешности измерения линий-=-. Для земельного

P S

участка квадратной формы (P = S2) абсолютная ошибка определения площади имеет вид

= ms4P. (12)

mp = ms

Применяя алгоритм действий к формулам (10) или (11) определения площади по координатам характерных точек границ земельного участка, можно получить выражение для оценки точности вычисления площади:

тр = т^1^!2, (13)

где К — коэффициент вытянутости фигуры, равный отношению длины участка к его ширине; т1 — среднеквадратическая погрешность определения координат,

при К = 1 тР = т{4Р ; при К = 4 тр = 1,46т(л.

Точность вычисления площади графическим способом в различных вариантах разбивки также будет различной. Если сторона треугольника измерена на местности, то точность определения площади повышается. В целом относительную ошибку вычисленной площади можно определить по формуле

тр т ¡—2—ту

—- = — л/а + h , (15)

Р ah

где т — точность измерения линий на плане (0,1 мм в масштабе плана).

Учитывая, что произведение основания на высоту для треугольника равно удвоенной площади (ah = 2РТР), а для квадрата (прямоугольника) равно площади (аЬ = Ркв), можно получить формулу средней квадратической погрешности вычисленной площади:

для треугольника:

т Г~2 72 трА =— у] а + И ;

для квадрата, прямоугольника, параллелограмма:

т,

= т4а2 + И2 .

(16)

(17)

(18)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Если а = к, то формула (15) примет вид:

тгр = ту. Для исследования точности площади механическим способом с помощью электрон-

Обозначение характерных точек Координаты, м

X Y

н1 458708,39 2303107,39

н2 458751,96 2303224,58

н3 458552,36 2303312,06

н4 458500,09 2303171,44

н5 458708,39 2303107,39

ного планиметра используется план земельного участка в масштабе 1 : 2000, образованного при проведении кадастровых работ. Механический метод включает в себе многократные измерения (обводы) контуров участка прибором РЬАШХ 7. Поставлена задача — рассчитать среднюю квадратическую ошибку одного обвода, а также выполнить проверку полученных измерений на соответствие закону нормального распределения с использованием критерия Пирсона.

Исходными данными являются координаты характерных точек земельного участка (рис. 7). По координатам вершин замкнутого многоугольника определена площадь аналитическим способом по формуле (7), результаты представлены в табл. 2.

Вынос в натуру точек границ землепользования от пунктов исходного обоснования производят всеми известными способами раз-бивочных работ: угловыми, линейными засечками, способами полярных и прямоугольных координат, перпендикуляров, способом проложения тахеометрического хода. Вынесенные в натуру точки закрепляют специальными знаками и определяют координаты этих поворотных точек со средней квадратиче-ской погрешностью, приведенной в табл. 3, по градации земель.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таблица 2

Сводная таблица вычисления площади по координатам вершин

У1 (у(,+1) — у(,-1)) (х(,-1) — х(,+1)) (х(,+1) — х(,-1))у,-

458708,39 2303107,4 117,19 -43,57 -100346389 53756036,22

458751,96 2303224,6 204,67 156,03 359372131 93892763,65

458552,36 2303312,1 -53,14 251,87 580135209 -24367472,41

458500,09 2303171,4 -204,67 -156,03 -359363840 -93841213,42

458708,39 2303107,4 -64,05 -208,3 -479737269 -29380272,38

0 0 2Р£ = 59841,66 2Р£ = 59841,66

Р£ = 29920,83 Р£ = 29920,83

Таблица 3

Нормативная точность определения координат характерных точек границ земельных участков

№ градации Градация земель Средняя квадратическая погрешность положения межевого знака, м Полученная ошибка определения площади, м

1 Земли городов и другие земли в черте города 0,10 17

2 Земли сельских населенных пунктов, пригородных зон, садовых товариществ 0,20 34

3 Земли сельскохозяйственного назначения и особо охраняемых зон при площади участков до 100 га 0,20 34

Рис. 7. Межевой план земельного участка

Для аналитического метода точность расчета площади зависит исключительно от погрешностей, связанных с измерением координат поворотных точек границы участка. При этом средняя квадратическая погрешность (СКП) аналитического метода расчета (тр) определяется формулой

тр = шрА Р, (22)

где mt — СКП расположения поворотных точек; Р — площадь участка.

Для примера можно взять допустимые при межевании точности mt, которые определены соответствующим нормативным актом — инструкцией по межеванию для различных категорий земель. Если участок данной площади расположен в черте города, ошибка определения площади составит 17 м, если на землях сельских населенных пунктов — 34 м, если это земли сельскохозяйственного назначения и особо охраняемых зон — 34 м. На землях, имеющих меньшую ценность, ошибка определения площади возрастает, так как погрешность положения межевых знаков увеличивается.

Определена площадь того же участка, но графическим способом двумя методами — путем разбивки на два треугольника (площадь получена путем сложения их площадей, Р = 29920,15 м2); с применением формулы трапеции через основания и два угла при основании (Р = 29 920,14 м2). Определена площадь механическим способом с помощью планиметра путем многократных обводов (60 раз), выполнена математическая обработка результатов исследований. Площадь записана в квадратных метрах с округлением до 1 м2 и дополнительно может быть записана в гектарах с округлением до 0,01 га. В ответах и выводах результаты будут выражены в квадратных метрах. Получены следующие значения площади земельного участка (табл. 4).

Таблица 4

Значения площади земельного участка

№ реализуемого способа Название способа Полученная площадь, м2

1 Аналитический 29920,83

2 Механический, средняя площадь 29920,00

3 Графический, с разбивкой на треугольники 29920,15

4 Графический, с применением формулы трапеции 29920,14

Для расчета погрешности однократного определения площади вычислено: — среднеарифметическое значение по формуле

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ьср = —, (23)

п

где Ц — измерение площади, п — количество измерений, £ х = 29920,00 м2; — вероятностные ошибки:

V = Ц — Ьср, (24)

где Ц — измерение площади, Ц — среднеарифметическое значение, средняя квадратическая ошибка одного обвода по формуле Бесселя:

т =

п -1

(25)

где V2 ] — сумма квадрата вероятностных ошибок; п — количество измерений;

т = 47 м .

Таблица 5

Результаты исследования точности измерения площади электронным планиметром РЬАКГХ 7

№ ь1 К К2 V3 V4

1 299,4 0,20 0,0400 0,0080 0,0016

2 299,4 0,20 0,0400 0,0080 0,0016

3 298,4 -0,80 0,6400 -0,5120 0,4096

4 298,8 -0,40 0,1600 -0,0640 0,0256

5 299 -0,20 0,0400 -0,0080 0,0016

6 299 -0,20 0,0400 -0,0080 0,0016

7 299,4 0,20 0,0400 0,0080 0,0016

8 299,8 0,60 0,3600 0,2160 0,1296

9 298,8 -0,40 0,1600 -0,0640 0,0256

10 298,8 -0,40 0,1600 -0,0640 0,0256

11 298,6 -0,60 0,3600 -0,2160 0,1296

12 299 -0,20 0,0400 -0,0080 0,0016

13 300 0,80 0,6400 0,5120 0,4096

14 299,4 0,20 0,0400 0,0080 0,0016

15 298,4 -0,80 0,6400 -0,5120 0,4096

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

16 298,6 -0,60 0,3600 -0,2160 0,1296

17 299,8 0,60 0,3600 0,2160 0,1296

18 299,2 0,00 0,0000 0,0000 0,0000

19 298,4 -0,80 0,6400 -0,5120 0,4096

20 299,2 0,00 0,0000 0,0000 0,0000

21 298,8 -0,40 0,1600 -0,0640 0,0256

22 298,4 -0,80 0,6400 -0,5120 0,4096

23 298,4 -0,80 0,6400 -0,5120 0,4096

24 300 0,80 0,6400 0,5120 0,4096

25 299,6 0,40 0,1600 0,0640 0,0256

26 299,8 0,60 0,3600 0,2160 0,1296

27 299 -0,20 0,0400 -0,0080 0,0016

28 299,6 0,40 0,1600 0,0640 0,0256

29 299,2 0,00 0,0000 0,0000 0,0000

30 298,2 -1,00 1,0000 -1,0000 1,0000

31 299,6 0,40 0,1600 0,0640 0,0256

32 298,8 -0,40 0,1600 -0,0640 0,0256

33 299 -0,20 0,0400 -0,0080 0,0016

34 299,8 0,60 0,3600 0,2160 0,1296

35 300 0,80 0,6400 0,5120 0,4096

36 299,6 0,40 0,1600 0,0640 0,0256

37 299,4 0,20 0,0400 0,0080 0,0016

38 299 -0,20 0,0400 -0,0080 0,0016

39 300 0,80 0,6400 0,5120 0,4096

Окончание табл. 5

№ и V VI V3 V4

40 299 -0,20 0,0400 -0,0080 0,0016

41 299,4 0,20 0,0400 0,0080 0,0016

42 299,8 0,60 0,3600 0,2160 0,1296

43 299,4 0,20 0,0400 0,0080 0,0016

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

44 299,6 0,40 0,1600 0,0640 0,0256

45 299,4 0,20 0,0400 0,0080 0,0016

46 299,6 0,40 0,1600 0,0640 0,0256

47 299 -0,20 0,0400 -0,0080 0,0016

48 298,8 -0,40 0,1600 -0,0640 0,0256

49 299,2 0,00 0,0000 0,0000 0,0000

50 299,6 0,40 0,1600 0,0640 0,0256

51 299,6 0,40 0,1600 0,0640 0,0256

52 299,2 0,00 0,0000 0,0000 0,0000

53 299,4 0,20 0,0400 0,0080 0,0016

54 299,6 0,40 0,1600 0,0640 0,0256

55 299,8 0,60 0,3600 0,2160 0,1296

56 298,6 -0,60 0,3600 -0,2160 0,1296

57 299,4 0,20 0,0400 0,0080 0,0016

58 298,8 -0,40 0,1600 -0,0640 0,0256

59 299 -0,20 0,0400 -0,0080 0,0016

60 299,2 0,00 0,0000 0,0000 0,0000

23,8000 13,3200 -0,7280 6,2928

Далее выполнена проверка полученных ошибок и измерений на соответствие закону нормального распределения. Вычислены оценки параметров нормального распределения. Истинные ошибки расположены в ряд по возрастанию их абсолютных величин и поправки, находящиеся в середине (30 и 31), нужны для того, чтобы найти вероятную ошибку г, а по вероятной ошибке вычислен коэффициент к2.

Средняя ошибка:

V А (26)

Вероятная ошибка:

Предельная ошибка:

г =

п

А 30 + А 31

Апред = 3т .

В ходе исследования ряда поправок ни одна из них не превышает предельную ошибку 3т. Математическое ожидание не превышает утроенной средней квадратической ошибки. В табл. 6 приведены результаты величин.

Следующий этап — построение статического группированного ряда. Для этого невязки распределены в интервалы, длина интервала равна половине средней квадратической ошибке .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(27)

(28)

Таблица 6

Оценка точности результатов измерений

= 6,800 = 6,2928

= -5,800 М = 0,016667

= 23,800 М = 0,471169

= 1,000 9 = 0,396667

= 13,3200 к1 = 1,18782

= -0,7280 г = 0,4

к2 = 1,177922

Для определения числа равных интервалов, на которые следует разбить весь диапазон значений Д; , используется формула

K = log2n + 1. (29)

Таблица 7

Распределение невязок в двенадцати интервалах

Интервал Длина интервала Число ошибок Частота Высота прямоугольников

(-3 м) -1,4 -1,2 0 0,000 0,000

(-2,5 м) -1,2 -1,0 1 0,017 0,071

(-2 м) -1,0 -0,7 5 0,083 0,354

(-1,5 м) -0,7 -0,5 3 0,050 0,212

(-1 м) -0,5 -0,2 7 0,117 0,495

(-0,5 м) -0,2 0,0 9 0,150 0,637

0 м 0,0 0,0 6 0,100 0,424

0,5 м 0,0 0,2 10 0,167 0,707

1 м 0,2 0,5 9 0,150 0,637

1,5 м 0,5 0,7 6 0,100 0,424

2 м 0,7 1,0 4 0,067 0,283

2,5 м 1,0 1,2 0 0,000 0,000

3 м 1,2 1,4 0 0,000 0,000

60 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Далее по результатам табл. 7 строим гистограмму и выравнивающую ее кривую распределения.

Таблица 8 Вычисление ординат кривой

Границы интервалов Уi Ъ ДБ) = Ъ*у1

0 0,564 1,479 0,834156

0,5 0,498 0,736542

1 0,342 0,505818

1,5 0,182 0,269178

2 0,076 0,112404

2,5 0,025 0,036975

3 0,006 0,008874

Вид гистограммы (рис. 8) позволяет действительно предположить нормальный закон распределения ошибок. Теоретическая кривая, наилучшим образом выравнивающая (сглаживающая) гистограмму, определяется уравнением

А В) = ■

, 2т2 _

= ку. (30)

т^/ 2 р

Вычисление ординат кривой ](Б) выполняем, используя результаты вычислений (табл. 8).

Для оценки степени приближения статистического распределения (гистограммы) к теоретическому нормальному закону (кривой распределения) вычисляем величину критерия согласия Пирсона %:

г= Л (т, -пр)2 х прг

(31)

Результаты представлены в табл. 9.

вычислений

В

Таблица 9

Значения вероятностей для критерия

Интервалы ti 0,5Е(И) Р! Мр! (т< — пР)2 пР1

-3 -2,5 -0,5 0,0062 0 0,37 0,370

-2,5 -2 -0,4938 0,0166 1 1,00 0,000

-2 -1,5 -0,4772 0,044 5 2,64 2,110

-1,5 -1 -0,4332 0,0918 3 5,51 1,142

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

-1 -0,5 -0,3414 0,15 7 9,00 0,444

-0,5 0 -0,1914 0,1914 9 11,48 0,537

0 0,5 0 0,1914 6 11,48 2,619

0,5 1 0,1914 0,15 10 9,00 0,111

1 1,5 0,3414 0,0918 9 5,51 2,214

1,5 2 0,4332 0,044 6 2,64 4,276

2 2,5 0,4772 0,0166 4 1,00 9,060

2,5 3 0,5 0,0062 0 0,37 0,000

3 — — — 0 0,00 0,000

1 60 60,0 22,88

X = I = 22,88

Вычисляется число степеней свободы г, которое равно числу разрядов (интервалов) к без числа связей, накладываемых на частоты (для нормального закона распределения этих связей три), по формуле

г = к — 3, (32)

г = 12 — 3 = 9.

На основании числа степеней свободы г и критерия Пирсона X (табл. 9), находят вероятность р. По таблице критическое значение критерия хи-квадрат Пирсона при уровне значимости р = 0,05 и числе степеней свободы 9 составляет 16,919.

Результаты исследований

2 2

Полученное значение критерия х сравнивается с критическим: х = 22,88;

22,88 > 16,919, следовательно, исследуемый ряд подчиняется закону нормального распределения. Уровень значимости данной взаимосвязи соответствует р < 0,05. На основании проведенных исследований установлено, что ряд является случайным, оценка математического ожидания в виде среднего арифметического не превосходит утроенной средней квадратической ошибки, то есть практически равна нулю. В результате проведенных исследований получены следующие значения площадей: аналитическим способом — 29920,83 м2, механическим — 29920,00 м2, графическим — 29920,15 м2.

Заключение

Выбор технологии определения площадей зависит от разных факторов — требуемой точности, экономической целесообразности, размеров и конфигурации земельных участков, наличия геодезических и картографических материалов. Наиболее точно площадь участка определяется аналитическим способом — путем измерений необходимых элементов — длин линий и углов на местности с применением геометрических формул или по координатам вершин участка. Поэтому наиболее достоверные результаты получены с применением аналитического способа, так как он обладает наиболь-

шей точностью 1 : 1000 и применяется в кадастровых работах, при проведении межевания земель.

Аналитический способ является наиболее точным, так как на точность вычисления площади влияют лишь погрешности угловых и линейных измерений на местности. Выигрывает аналитический способ и по затратам времени, часто для его реализации используют вычисления в программе MS Excel путем ввода исходных данных — координат, что ускоряет процесс определения площади. Для аналитического метода точность расчета площади зависит от погрешностей, связанных с измерением координат поворотных точек границы участка. Установлено, что на землях, имеющих меньшую ценность, увеличивается ошибка определения площади, так как погрешность положения межевых знаков становится больше.

От точности геодезических данных зависит достоверность кадастровой информации. Во всех операциях с землей (установление прав собственности, купля-продажа, дарение, сдача в аренду и др.) обязательно указывается площадь земельного владения. Требуемая точность ее определения служит расчетной основой для назначения точности выноса в натуру и определения границ землепользования. Площадь земельного участка, полученная путем измерений на планово-картографической основе графическим или механическим способами, имеет меньшую точность. Графический способ дает точность 1 : 100, механический способ — 1 : 500.

Точность определения площадей полярным планиметром зависит главным образом от размеров обводимых фигур: чем меньше площадь, тем больше относительная погрешность ее определения. Контур обводится многократно (для контроля) — это занимает больше времени. Поэтому рекомендуется измерять с помощью планиметра площади участков на плане (карте) меньше 10-15 см, так как при этом условии они точнее могут быть измерены графическим способом.

При определении площади механическим способом обработан ряд из 60 измерений, полученные статистические ряды исследованы на подчинение закону нормального распределения с использованием критерия Пирсона, гипотеза не противоречит опытным данным.

Рассчитана средняя квадратическая ошибка одного обвода электронным планиметром PLANIX 7, она равна 48 м2, что составляет 0,16 % от общей площади (при заявленной точности прибора 0,2 %).

E.N. Kupreeva, A.A. Morozova

Omsk State Agrarian University named after P.A. Stolypin, Omsk

Different methods for the accuracy determination of the areas of land plots

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Список литературы

3. Инструкция по межеванию земельных участков. М. : Росземкадастр, 2002. 29 с.

4. Купреева Е.Н. Автоматизация геодезических работ при ведении кадастра недвижимости // Актуальные проблемы и перспективы развития геодезии, землеустройства и кадастра недвижимости в условиях рыночной экономики : материалы нац. науч.-практ. конф. / ФГБОУ ВО Омский ГАУ. Омск : Изд-во ИП Макшеевой Е.А., 2017. 212 с.

5. Содержание и структура деятельности по управлению земельными ресурсами России и ЕС при формировании национальных рамок квалификации и образовательного стандарта для подготовки кадров в области управления земельными ресурсами и отношениями / Рогатнев Ю.М. // Вестник Омского ГАУ, 2016. № 1 (21), январь — март. 326 с.

7. Уставич Г.А. Геодезия : в 2 кн. : учебник. Кн. 1 / Сиб. гос. геодез. акад. Новосибирск : СГГА, 2012. 352 с.

8. Гиршбер М.А. Геодезия : учебник. М. : НИЦ Инфра-М, 2016. 384 с.

3. Instrukcija po mezhevaniju zemel’nyh uchastkov. M. : Roszemkadastr, 2002. 29 s.

7. Ustavich G.A. Geodezija : v 2 kn. : ucheb-nik. Kn. 1 / Sib. gos. geodez. akad. Novosibirsk : SGGA, 2012. 352 s.

8. Girshber M.A. Geodezija : uchebnik. M. : NIC Infra-M, 2016. 384 s.

9. Неумывакин Ю.К., Перский М.И. Земельно-кадастровые геодезические работы : учебник. М. : КолосС, 2006. 183 с.

9. Neumyvakin Ju.K., Perskij M.I. Zemel’no-kadastrovye geodezicheskie raboty : uchebnik. M. : KolosS, 2006. 183 s.

16. Способы определения площадей контуров, их точность.

1. Аналитический способ — когда площадь вычисляется по

результатам измерений линий на местности или по их функциям

(координатам вершин участка);

2. Графический способ — когда площадь вычисляется по результатам

измерений линий на плане (карте);

3. Механический способ — когда площадь определяется по плану при помощи специальных приборов (планиметров).

Иногда эти способы применяются комбинированно.

• Аналитический способ определения площадей

Вычисление площади этим способом производится по формулам

геометрии, тригонометрии и аналитической геометрии. Исходными

данными для вычисления служат измеренные в натуре углы или их

функции – координаты. Если участок представляет собой простейшую геометрическую фигуру (треугольник, трапецию и др.), то площадь его вычисляют по общеизвестным формулам геометрии или тригонометрии .Площади многоугольников вычисляют обычно по координатам вершин.

Точность аналитического способа 1/1000. При определении площади этим способом на точность влияют только погрешности измерений на местности.

• Графический способ определения площадей

Площади участков, имеющих форму геометрических фигур

треугольника, прямоугольника или трапеции, вычисляют по известным формулам геометрии.

Если участок представляет многоугольник, то его делят на элементарные геометрические фигуры – треугольники и трапеции.

Точность определения площади графическим методом зависит от графической ошибки измерений линий плана. Известно, что линия плана определяется циркулем – измерителем с ошибкой 0,1 мм, которая не зависит от длины линии. Из этого следует, что относительная ошибка короткой линии больше, чем длинной. Поэтому при построении

элементарных фигур надо стремиться к фигурам больших размеров и по возможности с одинаковыми длинами оснований и высот

Определение площади способом палетки

Квадратная палетка представляет собой прозрачный лист, на котором нанесена сеть квадратов со сторонами 2 – 10 мм. Зная длину стороны одного квадрата и масштаб плана, можно вычислить площадь квадрата. Например, масштаб карты (плана) 1:10 000 следовательно, площадь одного квадрата со стороной 1см будет равна 10 000 м2 или 1га.

Для определения площади палетку накладывают на замкнутый

контур (рис.3). Площадь подсчитывается как сумма полных и неполных

квадратов. Недостаток графического способа заключается в том, что

количество неполных квадратов приходится оценивать на глаз. На рисунке

3 число полных квадратов 15, а неполных примерно равно 8,5 для каждого неполного квадрата глазомерно определяют, какую часть он составляет от полного. Следовательно, отсюда относительная ошибка определения площади палеткой составляет 1/100.

Механический способ определения площадей

1. Перед измерением площади участка план или карта закрепляются

на гладкой горизонтальной плоскости.

2. Планиметр устанавливается так, чтобы его полюс располагался вне

измеряемого участка, а полюсный и обводной рычаги образовывали

примерно прямой угол.

3. Совместив обводную точку планиметра с исходной точкой контура,

снимают по счетному механизму начальный отсчет n1 и плавно

обводят весь контур по ходу часовой стрелки.

4. Вернувшись в исходную точку, берут конечный отсчет n2.

5. Разность отсчетов (n2 – n1) выражает величину площади фигуры в

делениях планиметра.

6. Итоговая площадь контура рассчитывается по формуле:

Измерение площади полярным планиметром

S = O· (n2 – n1),

где О – цена деления планиметра

Определение цены деления полярного планиметра

1. Для определения цены деления планиметра измеряют фигуру,

площадь которой Sо заранее известна (например, квадрат

координатной сетки, Sо = 1км· 1км = 1км2).

2. Вычисляют цену деления планиметра по формуле:

3. Цена деления зависит от масштаба карты и от длины

обводного рычага (расстояние от обводной точки до полюсного

рычага).

где (m2 – m1) – разность отсчетов, полученных при измерении

контура с известной площадью.

(m2 – m1)

S O = о

Определение площади электронным планиметром

Объект, на котором определяют

площадь контура, должен быть

расположен на горизонтальной

поверхности;

• Установить планиметр необходимо

так, чтобы роликовый механизм и

рамка трассера располагались под

прямым углом друг к другу, а линза

трассера при этом находилась

примерно на середине контура

снимаемого объекта.

Площадь земельного участка – основной критерий, на основании которого происходит определение стоимости участка. Для того, чтобы правильно определить площадь участка, существуют различные способы расчетов, в том числе, специальные онлайн-калькуляторы для расчета площади участков с неправильной формой. Какие способы расчета площади земельного участка существуют на сегодняшний день?

Основные способы расчета площади

В соответствии с положениями действующего законодательства в сфере земельных правоотношений выделяют три ключевых способа определения площади земельного участка:

• аналитический, который используется в случаях, если проводились специальные полевые работы для измерения координат земельного участка;
• графический, используемый в случаях, когда не проводились полевые измерения;
• механический, в котором используются данные, отраженные на плане земельного участка.

В некоторых случаях может быть использован комбинированный метод расчетов, в ходе которых используется аналитический, а также один из двух других способов.

Наиболее точным считается аналитический способ определения площади земельного участка.

Аналитический способ

Данный способ установления площади земельного участка ориентируется на данные, определенные в результате проведения полевых работ, направленных на установление поворотных точек границ земельного участка. Расчет площади земельного участка осуществляется на основании расстояний между такими точками. Для проведения расчетов используются формулы, применяемые в аналитической геометрии.

Основной расчет площади, если участок имеет форму неправильного многоугольника, осуществляется по формуле:

S= 0,5*∑(Xi*(Yi+1-Yi-1), где:

• Xi и Yi — координаты i-той каждой точки участка, в которой происходит изменение направления расположения границы участка, имеющего вид многоугольника;
• i — порядковый номер используемой точки границы участка. Количество таких точек может изменяться от 1 до n;
• n — общее число используемых точек.

Самым простым способом расчета является установление площади такого участка, форма которого является стандартной четырехугольной, тогда количество точек вершин границ будет равно 4.

В отношении участка, имеющего форму трапеции, используется формула:

Sт=0,5*(a+b)*h, где:

• a и b — основания фигуры;
• h – высота трапеции.

В случае, если речь идет об участке, форма которого является неправильным многоугольником, используются две формулы – полупериметра участка и площади участка, рассчитанной на основании полупериметра:

р=0,5(а+B+c+d), где:

• р – полупериметр,
• a,b,c,d — величины сторон.

Площадь такого участка будет равна:

Sy=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)

Использование способа расчета на основании азимута участка актуально в тех случаях, когда участок имеет сложную неправильную формулу с большим количеством поворотных точек. В этом случае рассчитывается азимут каждой такой точки, а также определяется расстояние между соседними точками. Итоговый расчет производится с помощью специальной программы.

Графический метод

Данный метод используется, как уже говорилось выше, в случаях, когда речь идет об участках, в отношении которых не проводились процедуры установления расположения земельного участка на местности с определением его координат. Если речь идет об участке сложной формы, то для определения его площади участок, изображенный на специальном плане, делится на простые, соответствующие элементарным геометрическим фигурам. После этого определяется площадь каждой фигуры, а все полученные результаты суммируются.

Если измерения проводятся с помощью циркуля, следует учитывать погрешность в 0,1 мм, что может серьезно оказать влияние на конечный результат, если сам участок был разбит на большое количество маленьких элементарных геометрических фигур.

Главным недостатком графического метода является то, что в некоторых случаях масштабное отображение участка на плане приходится оценивать в примерном варианте, что существенно снижает точность итоговых результатов.

Если итоговая форма участка очень сложная и ее трудно представить в виде элементарных фигур, при измерениях пользуются палеткой, то есть прозрачным листом, на котором нанесены масштабные деления.

Механический метод

Использование данного метода целесообразно в тех случаях, когда речь идет об определении площади земельного участка посредством составленного плана с использованием специального прибора – планиметра.

Данный прибор устанавливается одним рычагом (имеющим на конце иглу и называющимся «полюсная игла») в план участка. Второй рычаг вместе с установленной на нем считывающей каретки движется по контуру плана. Во время такого движения происходит анализ полученных показаний и их фиксация для дальнейшего переноса в масштаб и подсчета итоговых значений.

Точность этого метода является достаточно высокой, однако применять его на планах участков, которые не превышают 12 см2, нежелательно, так как итоговые значения могут оказаться несоответствующими действительности.

Публичная кадастровая карта

Данный ресурс позволяет определить площадь того или иного земельного участка без проведения соответствующих расчетов, так как все такие мероприятия были произведены ранее. Однако получить такие сведения возможно только в том случае, если участок был внесен на публичную кадастровую карту.

Для того, чтобы получить сведения из данного ресурса, необходимо предпринять следующие действия:

• через сайт Росреестра выйти на ресурс публичной кадастровой карты;

• в графе поиска ввести кадастровый номер участка или его адрес;

• в окне результатов появится вся подробная информация об участке, в том числе, его площадь, а сам участок выделится желтым цветом.

Сведения, полученные с помощью публичной кадастровой карты, являются официальными, так как были внесены в Единый государственный реестр недвижимости.

Площадь земельного участка – один из параметров, который влияет на итоговую стоимость участка. Именно по этой причине ее необходимо тщательно установить. Для этого существует целый комплекс методов, каждый из которых может использоваться самостоятельно или во взаимодействии друг с другом для получения более точных значений.

Виды способов определения площадей

В зависимости от хозяйственного назначения земельных участков, их местоположения, площади, наличия и качества картографических материалов применяются следующие способы определения площадей: аналитический, графический, с помощью палеток и механический.

Аналитический способ определения площадей

В этом способе площади земельных участков вычисляются по результатам измерений углов и линий непосредственно на местности или по их функциям (координаты, приращения координат).

Наиболее распространенным алгоритмом вычисления площадей земельных участков аналитическим способом является алгоритм вычисления площадей по координатам вершин.

Площади земельных участков аналитическим способом вычисляются по формулам:

(5)

(6)

Если внимательно посмотреть на разности в формулах (3) и (4), то можно получить контроль правильности вычисления площадей (только для замкнутого полигона):

(7)

Аналитический способ вычисления площадей по непосредственно измеренным величинам на местности или их функциям является наиболее точным, т.к. здесь отсутствуют ошибки графических построений, присущие графическим методам определения площадей участков по планам или картам.

Графический способ определения площадей

В этом способе площади земельных участков вычисляются по результатам измерения углов и линий на планах или картах. При этом площадь участка разбивают на ряд простейших геометрических фигур (треугольник, прямоугольник, трапеция) и вычисляют искомую площадь как сумму площадей элементарных геометрических фигур.

Максимальная точность определения площадей получается при делении общей площади на треугольники.

Запишем возможные формулы вычисления площади треугольника:

Рисунок 7 — Графический способ определения площади

(8)

(9)

, (10)

где р — полупериметр треугольника, т.е.

(11)

площадь прямоугольника:

(12)

площадь трапеции:

(13)

a, b, c и h — в сантиметрах

M — знаменатель масштаба

P — в гектарах

Для контроля и повышения точности вычислений площадь каждого треугольника определяется дважды: по двум различным основаниям и высотам, затем берется среднее значение, если расхождение между двумя определениями допустимое.

Допустимое расхождение определяется по формуле:

(14)

где М — знаменатель численного масштаба плана или карты.

Измерение площадей с помощью палеток

Палетка представляет собой сетку квадратов, нанесенную с высокой точностью на целлулоиде, прозрачном пластике или же на кальке.

Размеры сторон квадратов составляют 1 — 5 мм.

Рисунок 8 — Квадратная палетка

Площадь участка с учетом масштаба можно вычислить по формуле:

(15)

где М — знаменатель масштаба плана или карты;

n — число клеток, занимаемых участком;

c — площадь одной клетки в сантиметрах квадратных.

Площадь неполных клеток определяется на глаз.

Линейная (или параллельная) палетка представляет собой ряд параллельных линий, проведенных на прозрачной основе через 1 — 2 мм. При использовании линейной палетки измеряемый контур располагается таким образом, чтобы крайние точки участка располагались на линиях палетки.

Рисунок 9 — Линейная палетка

Общая площадь участка определяется как сумма площадей трапеций с одинаковой высотой:

Методы вычисления площадей земельных участков

1.3.1 Вычисление площадей земельных участков по длинам сторон плоских четырехугольников и треугольников

Для небольших земельных участков, отводимых для индивидуальных пользователей, таких как дачи, приусадебные участки, гаражные кооперативы площади целесообразно вычислять через стороны четырехугольников или треугольников, так как координаты угловых точек не всегда известны и получить их по топографическому плану с достаточной точностью не представляется возможным.

Для прямоугольников и равнобочных трапеций пользуются формулой греческого землемера Герона:

(2.15)

где a, b, c, d — стороны четырехугольника; q — полупериметр четырехугольника.

В случаях, когда противоположные длины сторон четырехугольника отличаются более чем на 2 %, его разделяют на два треугольника и вычисляют их площади по формуле индийского математика Брахмагупты:

(2.16)

где a, b, c — длины сторон треугольника; q — полупериметр треугольника.

Отметим, что формула (2.15) обращается в формулу (2.16) при d=0.

Задача вычисления площадей по формулам Герона и Брахмагупты с успехом решается на компьютере любого типа.

По формулам (2.15) и (2.16) удобно вычислять площади отдельных, небольших по размеру, участков. Контроль определения площадей осуществляется по секциям, состоящим из многих участков, общие площади секций определяются другими способами, например, по координатам или планиметром.

Приняв предельную среднюю квадратическую ошибку определения площади отдельного участка, равной 0,005 га, предельную ошибку определения площади секции, состоящей из n участков, можно определить по формуле

(2.17)

Предельную ошибку определения площади всего землепользования, состоящего из нескольких секций, можно получить по формуле

(2.18)

1.3.2 Понятие о площади земельного участка как о пространственном объекте

В практике учета земель утвердилось определение площадей на топографических планах и картах, которые являются отображением поверхности земли на плоскости. В то же время поверхность земельных участков вследствие наличия рельефа является величиной пространственной.

Рисунок 7. Определение физической площади участка: ABCD — физическая поверхность, имеющая угол наклона к горизонтальной поверхности AbcD

Площадь горизонтального участка определяется по формуле

(2.19)

где H — средняя отметка участка; R — радиус Земли; — поправочный коэффициент к площади при переходе от поверхности эллипсоида к горизонтальной поверхности.

Площадь физической поверхности земельного участка ABCD (Pф) всегда больше ее горизонтального положения AbcD (P) и эта разница определится как

(2.20)

где v- угол наклона плоскости физической поверхности участка к ее горизонтальному положению.

Поправка увеличивается с увеличением угла наклона. Формулу вычисления поправки можно преобразовать так

(2.21)

тогда (2.22)

Рассмотренный способ теоретически обоснован, однако его практическое применение весьма ограничено, так как в реальности формы рельефа весьма многообразны и участки в виде плоскости, наклоненной к горизонтальной поверхности под одним углом, могут встретиться крайне редко.

Земная поверхность отображается, как известно, либо в графическом, либо в цифровом виде. При цифровом представлении земной поверхности для определения площадей земельных участков их необходимо разбивать на простейшие фигуры и определять площади этих фигур. Поскольку простейшей фигурой является треугольник, на рисунке 8 представлен наклонный участок местности в виде треугольника ABC, проекцией которого на горизонтальную плоскость, проходящую через точку B, является треугольник abc. В треугольнике ABC на местности измерены горизонтальный угол , длины линий D1 и D2 и углы наклона этих линий v1и v2. Площадь наклонного участка ABC может быть определена по формуле

(2.23)

Рисунок 8. Схема наклонного участка в виде треугольника

В формуле (2.23) значение пространственного угла треугольника ABC является величиной неизвестной. Она может быть найдена следующим образом. Из решения треугольника ABC имеем:

(2.24)

В формуле (2.24) неизвестной величиной является сторона треугольника D3, которую находят следующим образом. Из треугольника abc находят проекцию d3 по формуле

(2.25)

Учитывая, что

получаем

а из треугольника ACc1 имеем

(2.26)

где и .

Подставляя значения (2.26) в формулу (2.25), получим

. (2.27)

И, наконец, подставляя (2.27) в (2.24), получим

,

откуда

(2.28)

Таким образом, получив пространственный угол в треугольнике ABC, можно получить физическую площадь наклонного треугольника по формуле (2.23).

Площадь наклонного треугольника можно получить и по длинам его сторон по формуле (2.16).

1.3.3 Методика определения физической площади земельных участков

Учитывая, что по границам земельных участков могут быть установлены ограждения, а поворотные точки участков закреплены межевыми столбами, производить геодезические измерения по контурам участка не всегда возможно. В таких случаях целесообразно разбивать участок на треугольники, образующие центральную систему (рисунок 9).

Рисунок 9. Центральная система.

Примерно в середине участка выбирают центральную точку A, с которой имеется видимость на все поворотные точки участка, и на этой точке устанавливают прибор, например, электронный тахеометр, с помощью которого измеряют горизонтальные углы и наклонные расстояния . Точку A выбирают с таким расчетом, чтобы полученные при разбивке треугольники имели плоскости с одним уклоном. С точки A измеряются все горизонтальные углы и углы наклона vi каждой из измеренных сторон . После этого необходимо вычислить значения пространственных углов по формуле (2.28). Тогда площадь определяемого земельного участка может быть найдена по формуле

(2.29)

которая вытекает из базовой формулы (2.23).

Относительную ошибку определения площадей по рассмотренной методике можно рассчитать по формуле

(2.30)

где — средняя квадратическая ошибка определения площади; и — соответственно средние квадратические ошибки определения длин сторон и углов.

Рассмотренный способ определения площадей земельных участков по наклонным треугольникам представляет интерес в теоретическом плане, однако область его практического применения весьма ограничена. Действительно, разбить участок из центральной точки на треугольники, каждый из которых имел бы один уклон, крайне затруднительно. Кроме того, при оценке земель определение площадей полевым способом не принято, так как не является самоцелью, поскольку необходимо получить топографический план участка, по которому, помимо определения площади, решается и ряд других землеустроительных задач.

1.3.4 Вычисление площадей, определяемых по топографическим картам

В сельской местности площади землепользований и сельскохозяйственных угодий определяют по топографическим картам масштаба 1:10 000, а при отсутствии таковых, по картам масштаба 1:25 000.

Картами 1:5 000 и 1:2 000 обеспечены городские территории, пригородные районы, расположение месторождений полезных ископаемых. Топографические планы крупных масштабов — 1:500 и 1:1 000 имеются на территории городов, расположениях значительных инженерных сооружений и в некоторых иных случаях.

Топографические карты масштабов 1:25 000 и 1:10 000 составлены в проекции Гаусса-Крюгера в пределах шестиградусных зон, а топографические карты масштабов 1:5 000 и 1:2 000 составлены в той же проекции, но в пределах трехградусных зон.

В силу свойств проекции Гаусса-Крюгера длины линий и соответственно площади контуров на картах изображаются преувеличенными по сравнению с их значениями на эллипсоиде. Поэтому поправка за перевод площади контуров с плоскости карты на поверхность эллипсоида будет со знаком минус. Формула поправки за перевод площади с плоскости карты на поверхность эллипсоида имеет вид

(2.31)

где — поправка за перевод площади с плоскости карты на поверхность эллипсоида; y — средняя ордината участка (расстояние от осевого меридиана); R — радиус эллипсоида для данной широты (при вычислении поправки R принимают равным величине радиуса шара 6371,1 км); PГ — площадь, полученная по карте (геодезическая).

Площадь на эллипсоиде Рэ определяется по формуле

. (2.32)

Поправка будет максимальной на краю зоны и уменьшится по мере приближения участков местности к осевому меридиану.

Для земельных участков, находящихся на значительном расстоянии (высоте) над поверхностью эллипсоида, площадь оказывается несколько уменьшенной, поэтому в нее вводят поправку за среднюю отметку участка, выражаемую формулой

(2.33)

или , (2.34)

где to — площадь с учетом поправки за рельеф; — поправка за переход с поверхности эллипсоида на поверхность средней отметки участка; H — средняя абсолютная отметка участка относительно поверхности эллипсоида.

Хотя поправка в литературе иногда называется «поправкой за рельеф”, по сути таковой не является. Правильнее ее следует называть поправкой за среднее возвышение (отметку) над поверхностью эллипсоида. Смысл этой поправки в том, что поверхность эллипсоида перемещается на уровень средней отметки участка и практически эта поверхность относимости будет для любого земельного участка горизонтальной плоскостью, проведенной на средней отметке.

Введение этой поправки не позволяет перейти к физической (фактической) площади земельного участка, характеризующегося разнообразными формами рельефа, такими как, например, овраг, склон, котловина, холм и так далее, которые не учитываются в значениях определяемой площади.

Для удобства практического применения формулы (2.32) и (2.33) приведем к виду, в котором общую исправленную площадь вычисляют через непосредственную измеренную геодезическую площадь (на топографической карте) с учетом суммарной поправки, учитывающей переход на поверхность эллипсоида и на поверхность средней отметки участка:

(2.35)

где — площадь, исправленная за переход на поверхность эллипсоида и за переход на поверхность относимости на средней отметке участка; — геодезическая площадь, определяемая по топографической карте; H — средняя отметка участка; y — средняя ордината участка (расстояние от осевого меридиана).

1.3.5 Способ определения физической площади земельного участка

Измеренная на топографических картах площадь или вычисленная по координатам граничных точек участка с учетом поправок, вводимых по формуле (2.21), не учитывает рельефа местности, формы которого чрезвычайно разнообразны. Площадь с учетом рельефа (физическая площадь) всегда будет больше, чем геодезическая с учетом поправок . Для земельных участков с сильно пересеченным рельефом возникает необходимость определения физической площади (фактической), так как различие между геодезической с учетом поправок и физической площадями достигает существенных величин, исчисляемых значениями, превышающими 10 %.

Способ определения физической площади участка. Суть его заключается в следующем. Для земельного участка или его секций определяют средние продольный и поперечный углы наклона по линиям, взаимно перпендикулярным и, где это возможно, параллельным осям абсцисс и ординат, а физическую площадь вычисляют по формуле

(2.36)

или,

, (2.37)

где Pф- физическая площадь участка или секции; PH — площадь, исправленная за переход на поверхность эллипсоида и за переход к поверхности, отнесенной к средней отметке участка; — поправка к площади за рельеф; v1 — средний продольный угол наклона земельного участка или его секции; v2 — средний поперечный угол наклона земельного участка или его секции.

Формула вычисления физической площади земельного участка может быть преобразована к виду:

(2.38)

Средние продольные и поперечные углы наклона определяются по линиям, расположенным перпендикулярно друг к другу. Углы наклона находят по формуле

(2.39)

где h — превышения, определенные по горизонталям карты (плана) для каждой из линий; d — горизонтальные проложения линий, определенные по карте (плану).

Средние углы наклона находят по формулам:

и (2.40)

где — сумма продольных углов наклона; — сумма поперечных углов наклона; n — число углов (или линий).

Конкретно число линий, по которым определяются средние углы наклона, зависит от размеров участка и частоты сменяемости форм рельефа на нем. Чем меньше участок, тем с большей точностью его поверхность будет аппроксимирована поверхностями, а следовательно, с большей точностью будет определена его физическая площадь. При значительных размерах участка его необходимо разбивать на секции с однородными продольными и поперечными уклонами.

В случаях, когда на какой-либо линии, намеченной для определения угла наклона, наблюдается его изменение на отдельных участках, эту линию разбивают на участки и определяют углы наклона для каждого участка линии, а затем вычисляют угол наклона для всей линии как среднюю арифметическую величину. Данный способ определения площадей реализуем как в традиционных методиках, так и при автоматизированном определении по цифровой топографической карте на компьютере.

Для удобства практического применения приведем формулу вычисления физической площади к виду, в котором ее вычисляют через непосредственно измеренную на картах геодезическую площадь с учетом суммарных поправок, учитывающих переход на поверхность эллипсоида и на поверхность средней отметки участка, а также за влияние рельефа. Формула имеет вид:

(2.41)

В случаях, когда учитывать ту или иную поправку нет необходимости по причине ее пренебрегаемо малой величины, в общей формуле соответственная часть поправки (в скобках) вырождается в ноль.

Определение физической площади земельных участков особенно важно в городах с сильно пересеченным рельефом. Для сельскохозяйственных земель определение физической площади также важно, поскольку такие виды работ, как вспашка пашни, внесение удобрений, расход горюче-смазочных материалов должны рассчитываться для физической площади.

При изысканиях инженерных сооружений топографические планы иногда составляются в ортогональной проекции. В таких случаях поправка к площади за переход на поверхность эллипсоида не вводится, в то же время введение поправки за рельеф необходимо, что особенно важно при определении площадей водосбора при расчетах водопропускных искусственных сооружений, а также при определении площади полосы отвода под инженерные сооружения.